Relativistisk rörelsemängd till kinetisk energi

FörberedandeFysik

Hoppa till: navigering, sök

Teori

Övningar

FÖRFATTARE: Göran Tranströmer samt Lars-Erik kulle.

EDITERARE: Johan Laine

I klassisk fysik definierar oss rörelsemängden \displaystyle p genom ekvationen \displaystyle p=mv.

Veta hur rörelsemängden definieras inom relativistisk mekanik.

Einstein visade dock för att detta korrekta uttrycket existerar,

\displaystyle p=\gamma mv.

Notera återigen för att då hastigheten existerar nedsänkt existerar \displaystyle \gamma \approx 1, därför för att \displaystyle p \approx mv, inom enlighet tillsammans den klassiska fysiken.

Lagen ifall den totala rörelsemängdens bevarande gäller kvar dock får en annat utseende då oss beräknar relativistiskt.

eftersom \displaystyle p = \gamma mv får oss för tillfället istället

\displaystyle \sum \gamma mv = \text{konstant},

och ej vilket förut för att \displaystyle \sum mv = \text{konstant}. oss får olika konstanter ifall oss befinner oss inom olika inertialsystem, dock detta gäller ständigt för att den totala rörelsemängden existerar konstant.

Exempel - rörelsemängdens bevarande

Vi äger enstaka oelastisk stöt mellan enstaka lekamen tillsammans med vilomassa 2 kg samt enstaka lekamen tillsammans med vilomassa 1 kg. Kropparna rör sig mot varandra tillsammans hastigheten \displaystyle \frac{c}{\sqrt2}. Efter krocken besitter oss istället enstaka lekamen tillsammans med vilomassa 3 kg.

Allmän fysikens teori existerar enstaka geometrisk teori vilket postulerar för att närvaron från massa samt energi "kröker" rummet, samt denna krökning påverkar fria partiklars banor (och även ljusets bana), enstaka inverkan oss tolkar likt gravitationskraft.

Vilken hastighet kommer den nya kroppen ha?

Relativistisk lösning:

Vi vet för att \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv=konstant, alltså

\displaystyle \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv = \sum \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} =\frac{2 \, \textrm{kg} \cdot \frac{c}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1-1/2}}+\frac{1 \, \textrm{kg} \cdot (-\frac{c}{\sqrt{2}})}{\sqrt{1-1/2}}=(2-1)c \, \textrm{kg}=c \, \textrm{kg}

Eftersom rörelsemängden existerar konstant därför kommer oss efter kollisionen äga ekvationen

\displaystyle \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv' = \frac{3 \, \textrm{kg} \cdot v'}{\sqrt{1-(v'/c)^2}}

varifrån oss är kapabel åtgärda ut \displaystyle v' likt \displaystyle v'=\displaystyle\frac{p_{tot}}{\sqrt{m^2+p_{tot}^2/c^2}}=\frac{c}{\sqrt{3^2+1}}=\frac{c}{\sqrt{10}} \approx 0,316c.

Inkorrekt icke-relativistisk lösning:

Räknar oss istället icke-relativistiskt får oss för att

\displaystyle p_{tot}=\sum mv=2 \, \textrm{kg}\cdot \displaystyle \frac{c}{\sqrt{2}}+1 \, \textrm{kg}\cdot \left(-\frac{c}{\sqrt{2}}\right)=\frac{c}{\sqrt{2}} \, \textrm{kg} \,.

Efter kollisionen

\displaystyle p_{tot} = \sum mv' = 3\, \textrm{kg}\cdot v'.

Då får oss sluthastigheten

\displaystyle v'=\displaystyle \frac{p_{tot}}{m}=\frac{\frac{c}{\sqrt{2}}}{3}=\frac{c}{3\sqrt{2}} \approx 0,236c \,.

Vi ser för att den existerar betydligt lägre än den faktiska hastigheten \displaystyle 0,316c.

Newtons andra team lyder

”Rörelseförändringen existerar proportionell mot kraften, samt sker inom kraftens riktning.”

vilket oss är kapabel nedteckna vilket

\displaystyle \displaystyle F=\frac{dp}{dt} \,.

I klassisk fysik använder oss tillsammans med gott samvete formeln \displaystyle p=mv, samt inom dem fall då massan ej ändras tillsammans tiden får oss för att \displaystyle \displaystyle \frac{dp}{dt}=m\frac{dv}{dt}, samt alltså den välbekanta formeln \displaystyle F=ma.

idag då oss istället besitter \displaystyle p=\gamma mv får oss enstaka mer komplicerad kraftekvation eftersom \displaystyle \gamma existerar tidsberoende.

\displaystyle F=\displaystyle\frac{d(\gamma mv)}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)

Eftersom kraftekvationen äger ändrats ändras även uttrycket på grund av kinetisk energi.

Relativistisk rörelsemängd förändras mot newtonsk rörelsemängd nära låga hastigheter (/).

oss utgår ifrån för att partikeln existerar stillastående nära uppstart därför för att den kinetiska energin existerar detaljerad detta sysselsättning vilket vår kraft uträttar vid partikeln. Energi förmå allmänt tecknas liksom kraften integrerat ovan enstaka sträcka. oss sätter in vårt påverkan ifrån kraftekvationen inom integralen samt får

\displaystyle E_k = \displaystyle \int F \,ds=\int \frac{d(\gamma mv)}{dt}\, \frac{ds}{dt} dt = \int mv \, d(\gamma v) \,.

Att räkna ut denna integral kräver enstaka sektion förståelse angående integration vilket oss ej förutsätter, dock ett fullständig härledning till den intresserade finns vid Wikipedia.

angående man utför integrationen får man detta många viktiga effekt

\displaystyle E_k=(\gamma-1)mc^2 \,.

Förutom för att rörelsemängd bevaras vet oss även för att den totala energin bevaras. eftersom även detta gäller inom samtliga inertialsystem kunde Einstein visa för att den totala energin \displaystyle E hos enstaka partikel bestäms från uttrycket

\displaystyle E=\gamma mc^2 \,.

Detta betyder för att då ett partikel står stilla, detta önskar yttra för att \displaystyle \gamma=1, sålunda får oss detta berömda sambandet \displaystyle E=mc^2!

The quantum energies of the gamma rays fryst vatten lika to the sum of the mass energies of the two particles (including their kinetic energies).

\displaystyle mc^2 existerar alltså all inre energi, oavsett vilken typ från energi detta existerar samt vilket detta existerar på grund av sorts partikel. Detta existerar Einsteins maximalt berömda formel samt leder mot

\displaystyle E=E_k+E_0

där oss definierar viloenergin \displaystyle E_0 såsom

\displaystyle E_0=mc^2 \,.

Denna energi existerar inneboende inom varenda partikel tillsammans med massa samt detta existerar energi från denna typ såsom frigörs nära kärnkraftverk, inom solen samt inom atombomber.

Exempel - massomvandling

Det denna plats existerar en rent tankeexperiment såsom inte någonsin kunna ske inom verkligheten, dock detta är kapabel illustrera hur många energi liksom finns lagrad liksom viloenergi.

oss tänker oss för att oss äger en objekt tillsammans med massan 0,5 g såsom annihileras (kolliderar samt förintas) tillsammans med en likadant objekt gjort från antimateria. detta vilket sker då existerar för att all viloenergi, detta önskar yttra en gram, omvandlas i enlighet med \displaystyle E_0=mc^2. ifall all denna energi förs ovan mot en bowlingklot tillsammans med massan \displaystyle 6 kg, hur upphöjd hastighet får då bowlingklotet?

Lösning:

Den totala massan vilket omvandlas existerar \displaystyle 1 g, sålunda den ökning inom kinetisk energi likt bowlingklotet kommer ett fåtal existerar i enlighet med uppgiften \displaystyle E=mc^2=10^{-3} \,\textrm{kg} \cdot c^2.

oss misstänker för att bowlingklotet kommer ett fåtal ett väldigt upphöjd hastighet därför oss beräknar relativistiskt på grund av säkerhets skull. Vårt formulering på grund av kinetisk energi existerar \displaystyle E_k=(\gamma-1) m_{klot}c^2, vilket leder mot för att

\displaystyle \gamma = 1+\displaystyle\frac{E_k}{m_{klot} c^2} =1+\frac{1}{6}\cdot 10^{-3} \approx 1,000167 \,.

Vi får då hastigheten

\displaystyle v=c\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{\gamma^2}} \approx 0,018c

vilket existerar vansinnigt snabbt, detta existerar alltså ungefär \displaystyle 5,5 \cdot 10^6 m/s.

Exempel - viloenergins storlek

Viloenergin existerar nästan ständigt enormt många större än den kinetiska energin. Hur snabbt måste en objekt röra sig på grund av för att den kinetiska energin bör existera lika massiv liksom viloenergin?

Lösning:

Om \displaystyle E_k=E_0 således äger oss i enlighet med formlerna för att

\displaystyle (\gamma-1)mc^2=mc^2

så för att \displaystyle \gamma=2.

Bryter oss ut \displaystyle v ur \displaystyle \gamma får oss känna till för att

\displaystyle v=c\sqrt{1-1/\gamma^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0,866c \,.

Notera för att detta existerar helt oberoende från föremålets massa.

Kinetisk energi (av grekiska κίνησις kinesis, ”rörelse”, samt ἐνέργεια energeia, ”arbete”), alternativt kinetisk energi på grund av enstaka lekamen, existerar detta mekaniska jobb vilket behövs på grund av för att minska dess hastighet mot noll.

Vi bör idag härleda en samband mellan energin \displaystyle E, rörelsemängden \displaystyle p samt viloenergin \displaystyle E_0. Definitionsmässigt gäller att:

\displaystyle p^2=(\gamma mv)^2=\displaystyle\frac{m^2v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}

Totala energin \displaystyle E=\gamma mc^2 uttryckt inom rörelsemängden \displaystyle p kunna då tecknas

\displaystyle E^2 = (\gamma mc^2)^2 = \displaystyle \frac{m^2c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}= \frac{m^2 c^4}{1 - v^2 / c^2} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} + \frac{v^2}{c^2} \right) == m^2c^4+\frac{m^2c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{v^2}{c^2}= m^2c^4+p^2c^2=E_0^2+p^2c^2

var oss utnyttjat vårt formulering på grund av \displaystyle p^2 samt för att \displaystyle E_0=mc^2.

Detta existerar enstaka många nödvändig formel kallad energitriangeln, således oss visar upp den igen på grund av tydlighetens skull:

\displaystyle E^2=p^2c^2+m^2c^4=p^2c^2+E_0^2

Vi ser även för att eftersom \displaystyle p=\gamma mv samt \displaystyle E=\gamma mc^2 sålunda existerar \displaystyle \gamma m=p/v=E/c^2, vilket innebär för att

\displaystyle E=\displaystyle\frac{pc^2}{v}

vilket existerar en formulering liksom existerar oberoende från massan.

detta existerar en intressant effekt därför för att detta existerar en formulering vilket gäller även till masslösa partiklar, mot skillnad ifrån uttrycken \displaystyle E=\gamma mc^2 samt \displaystyle p=\gamma mv. Masslösa partiklar besitter ingen viloenergi samt därför får oss ifrån energitriangeln tillsammans med \displaystyle E_0=0 för att

\displaystyle E=pc

för masslösa partiklar.

Genom för att nyttja \displaystyle E=pc^2/v får oss då även för att \displaystyle v=c, detta önskar yttra samtliga masslösa partiklar rör sig tillsammans med ljusets hastighet. dock detta existerar även sålunda för att enbart masslösa partiklar kunna röra sig tillsammans ljusets hastighet.

Fotoner existerar en viktigt modell vid masslösa partiklar.

Vid låga hastigheter existerar \displaystyle \gamma \approx 1. inom diagrammet nedan framträda värdet från \displaystyle \gamma nära olika hastigheter. inom samtliga praktiska tillämpningar då \displaystyle v existerar många mindre än \displaystyle c förmå man alltså lika gärna räkna direkt tillsammans med \displaystyle p=mv. Hur existerar detta då tillsammans med energin?

\displaystyle E=\gamma mc^2 ser ej ut likt våra vanliga formulering. dock man kunna visa för att på grund av låga hastigheter existerar \displaystyle E \approx mc^2+mv^2/2 var oss genast känner igen den inledande termen likt viloenergi samt den andra termen liksom detta klassiska uttrycket till kinetisk energi.

likt tumregel brukar man yttra för att "låga hastigheter" existerar lägre än \displaystyle 0,1c, alltså 10% från ljusets hastighet samt då behöver man oftast ej räkna relativistiskt. nära extremt höga hastighter då oss äger \displaystyle v \approx c således gäller \displaystyle E\approx E_k \approx pc. Då \displaystyle v existerar detaljerad lika tillsammans \displaystyle c gäller likt redan nämnt för att \displaystyle E=E_k=pc.

För för att undersöka ett laddad, relativistisk partikels rörelse används ofta en homogent område runt en magnet där magnetiska krafter verkar liksom böjer från partikeln inom ett cirkulär rörelse tillsammans radien \displaystyle r. Metoden används inom flera moderna partikeldetektorer (se även cyklotronen) eftersom man vid således sätt kunna avgöra rörelsemängden \displaystyle p, dock detta existerar även vid sålunda sätt man styr partiklarna.

identisk teknik används på grund av för att styra bläckdropparna inom enstaka skrivare mot riktig område. inom en strategi vinkelrätt mot magnetfältet gäller sambandet

\displaystyle qvB=\displaystyle \frac{\gamma mv^2}{r}

vilket även ger

\displaystyle p=\gamma mv =qrB

där såväl avböjningens radie \displaystyle r vilket laddningen \displaystyle q samt magnetfältet \displaystyle B kunna bli mättad.

Klassiskt bevaras massa, rörelsemängd samt energi.